Tahun ajaran baru di kelas 12 merupakan fase krusial bagi setiap siswa SMA. Di semester pertama, mata pelajaran Matematika Wajib memegang peranan penting dalam membangun fondasi yang kuat untuk ujian akhir, seleksi masuk perguruan tinggi, maupun pemahaman konsep-konsep matematika tingkat lanjut. Materi yang disajikan di semester ini seringkali menantang namun sangat fundamental.
Artikel ini akan memandu Anda melalui beberapa topik kunci Matematika Wajib kelas 12 semester 1, lengkap dengan contoh soal yang representatif dan pembahasan yang terperinci. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya memahami cara menjawab soal, tetapi juga menguasai konsep di baliknya, sehingga mampu memecahkan berbagai variasi soal dengan percaya diri.
Topik Kunci Matematika Wajib Kelas 12 Semester 1
Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, beberapa topik utama yang umumnya diajarkan di Matematika Wajib kelas 12 semester 1 meliputi:
- Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma: Melibatkan penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponen dan logaritma, serta memahami sifat-sifatnya.
- Dimensi Tiga (Konsep Jarak dan Sudut): Memahami konsep titik, garis, dan bidang dalam ruang tiga dimensi, serta menghitung jarak antara titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, serta sudut antara garis dan garis, garis dan bidang, serta bidang dan bidang.
- Statistika (Ukuran Pemusatan, Letak, dan Penyebaran Data): Meliputi perhitungan rata-rata, median, modus, kuartil, desil, persentil, serta simpangan baku dan variansi untuk data tunggal maupun berkelompok.
Mari kita selami contoh soal dan pembahasannya untuk setiap topik.
1. Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
Konsep Dasar:
- Fungsi Eksponen: $f(x) = a^x$ dengan $a > 0$ dan $a neq 1$. Jika $a > 1$, fungsi monoton naik. Jika $0 < a < 1$, fungsi monoton turun.
- Fungsi Logaritma: $f(x) = ^a log x$ dengan $a > 0$, $a neq 1$, dan $x > 0$. Jika $a > 1$, fungsi monoton naik. Jika $0 < a < 1$, fungsi monoton turun.
- Sifat Pertidaksamaan Eksponen:
- Jika $a > 1$: $a^f(x) < a^g(x) Leftrightarrow f(x) < g(x)$.
- Jika $0 < a < 1$: $a^f(x) < a^g(x) Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
- Sifat Pertidaksamaan Logaritma:
- Jika $a > 1$: $^a log f(x) < ^a log g(x) Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$).
- Jika $0 < a < 1$: $^a log f(x) < ^a log g(x) Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$).
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3^2x-1 > left(frac19right)^x+2$.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah menyamakan basis pada kedua sisi pertidaksamaan. Kita tahu bahwa $frac19 = 9^-1 = (3^2)^-1 = 3^-2$.
Jadi, pertidaksamaan menjadi:
$3^2x-1 > (3^-2)^x+2$
$3^2x-1 > 3^-2(x+2)$
$3^2x-1 > 3^-2x-4$
Karena basisnya (yaitu 3) lebih besar dari 1, maka eksponennya dapat kita samakan dengan arah pertidaksamaan yang sama:
$2x – 1 > -2x – 4$
Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan linear ini:
$2x + 2x > -4 + 1$
$4x > -3$
$x > -frac34$
Himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x > -frac34, x in mathbbR$.
Contoh Soal 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^2 log (x^2 – 4x + 4) le ^2 log (x-1)$.
Pembahasan:
Pertama, kita harus memperhatikan domain dari fungsi logaritma. Argumen logaritma harus positif.
- $x^2 – 4x + 4 > 0 implies (x-2)^2 > 0$. Ini berlaku untuk semua $x$ kecuali $x=2$.
- $x-1 > 0 implies x > 1$.
Menggabungkan kedua syarat domain, kita mendapatkan $x > 1$ dan $x neq 2$.
Karena basis logaritma (yaitu 2) lebih besar dari 1, maka argumennya dapat kita samakan dengan arah pertidaksamaan yang sama:
$x^2 – 4x + 4 le x – 1$
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$x^2 – 4x – x + 4 + 1 le 0$
$x^2 – 5x + 5 le 0$
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu dengan rumus ABC:
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
$x = frac5 pm sqrt(-5)^2 – 4(1)(5)2(1)$
$x = frac5 pm sqrt25 – 202$
$x = frac5 pm sqrt52$
Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = frac5 – sqrt52$ dan $x_2 = frac5 + sqrt52$.
Nilai $sqrt5$ kira-kira adalah 2.236.
$x_1 approx frac5 – 2.2362 = frac2.7642 = 1.382$
$x_2 approx frac5 + 2.2362 = frac7.2362 = 3.618$
Karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Pertidaksamaan $x^2 – 5x + 5 le 0$ terpenuhi di antara akar-akarnya.
Jadi, solusinya adalah $frac5 – sqrt52 le x le frac5 + sqrt52$.
Sekarang, kita harus menggabungkan solusi ini dengan syarat domain ($x > 1$ dan $x neq 2$).
- $x_1 = frac5 – sqrt52 approx 1.382$, yang lebih besar dari 1.
- $x_2 = frac5 + sqrt52 approx 3.618$.
Dalam interval $left$, terdapat nilai $x=2$. Karena $x neq 2$, maka kita perlu mengecualikan nilai ini.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $leftx mid frac5 – sqrt52 le x < 2 text atau 2 < x le frac5 + sqrt52, x in mathbbRright$.
2. Dimensi Tiga (Konsep Jarak dan Sudut)
Konsep Dasar:
Dalam ruang tiga dimensi, kita sering menggunakan koordinat Kartesius $(x, y, z)$. Jarak antar dua titik $A(x_1, y_1, z_1)$ dan $B(x_2, y_2, z_2)$ dihitung dengan rumus:
$d(A,B) = sqrt(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$
Untuk menghitung jarak dan sudut, seringkali kita perlu memproyeksikan titik ke garis atau bidang, atau menggunakan vektor. Proyeksi titik $P$ ke garis $g$ adalah titik $P’$ pada $g$ sehingga $PP’$ tegak lurus dengan $g$. Proyeksi titik $P$ ke bidang $alpha$ adalah titik $P’$ pada $alpha$ sehingga $PP’$ tegak lurus dengan $alpha$.
Contoh Soal 3 (Jarak):
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik $A$ ke garis $CG$.
Pembahasan:
Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki rusuk $AB=BC=CD=DA=EF=FG=GH=HE=AE=BF=CG=DH=6$ cm.
Titik $A$ berada pada bidang alas, sedangkan garis $CG$ merupakan salah satu rusuk tegak yang menghubungkan bidang alas dan bidang atas.
Perhatikan bahwa garis $CG$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$.
Jarak titik $A$ ke garis $CG$ adalah panjang proyeksi titik $A$ ke garis $CG$.
Jika kita membayangkan kubus, titik $A$ adalah salah satu titik sudut di alas. Garis $CG$ adalah rusuk vertikal yang berada di sisi berlawanan dari titik $A$ jika dilihat dari depan.
Namun, jarak titik ke garis tidak selalu berarti proyeksi langsung pada garis tersebut jika garisnya tidak "dekat" dengan titiknya. Dalam kasus ini, kita bisa melihat bahwa garis $CG$ sejajar dengan garis $BF$, $AE$, dan $DH$.
Pertimbangkan bidang $BCGF$. Titik $A$ tidak berada di bidang ini.
Mari kita pertimbangkan titik proyeksi $A$ ke garis $CG$.
Karena $CG$ tegak lurus dengan bidang alas $ABCD$, maka jarak dari $A$ ke garis $CG$ sama dengan jarak dari $A$ ke titik manapun pada garis $CG$ yang memiliki koordinat yang sama dengan proyeksi $A$ pada bidang alas, jika $CG$ berada di bidang alas.
Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan sifat geometris. Garis $CG$ sejajar dengan $DH$, $AE$, dan $BF$.
Jarak terdekat dari titik $A$ ke garis $CG$ adalah sama dengan jarak dari $A$ ke proyeksinya pada bidang yang memuat garis $CG$ dan tegak lurus dengannya.
Perhatikan bahwa garis $CG$ sejajar dengan rusuk $AE$.
Jarak titik $A$ ke garis $CG$ sama dengan jarak titik $A$ ke garis $AE$ (karena $AE$ sejajar $CG$).
Jarak titik $A$ ke garis $AE$ adalah panjang rusuk $AE$ itu sendiri, karena $A$ adalah salah satu titik ujung dari segmen $AE$.
Namun, ini tidak tepat. Jarak titik $A$ ke garis $CG$ adalah panjang segmen garis yang ditarik dari $A$ dan tegak lurus terhadap $CG$.
Mari kita gunakan koordinat. Misalkan $A = (0,0,0)$.
Maka $B = (6,0,0)$, $D = (0,6,0)$, $C = (6,6,0)$.
$E = (0,0,6)$, $F = (6,0,6)$, $H = (0,6,6)$, $G = (6,6,6)$.
Garis $CG$ melewati titik $C(6,6,0)$ dan $G(6,6,6)$.
Vektor arah garis $CG$ adalah $vecv = G – C = (6-6, 6-6, 6-0) = (0,0,6)$.
Sebuah titik pada garis $CG$ adalah $P(t) = C + tvecv = (6,6,0) + t(0,0,6) = (6, 6, 6t)$.
Kita mencari jarak dari $A(0,0,0)$ ke garis $CG$. Jarak ini adalah panjang proyeksi vektor $vecAC$ ke vektor normal dari bidang yang memuat $A$ dan tegak lurus $CG$.
Cara lain yang lebih visual:
Garis $CG$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$.
Jarak dari titik $A$ ke garis $CG$ adalah panjang segmen yang ditarik dari $A$ dan tegak lurus dengan $CG$.
Perhatikan bahwa $A$ berada di bidang $ABCD$, dan $CG$ tegak lurus bidang $ABCD$.
Apapun titik pada garis $CG$, sebut saja $P$, maka segitiga $ACP$ siku-siku di $C$ jika $P$ adalah $C$.
Jika kita menarik garis dari $A$ ke $C$, panjangnya adalah diagonal sisi.
Jika kita menarik garis dari $A$ ke $G$, panjangnya adalah diagonal ruang.
Perhatikan bidang $ACGE$. Ini adalah persegi panjang. Jarak dari $A$ ke $CG$ dalam bidang ini adalah panjang $AC$.
Namun, $AC$ tidak tegak lurus dengan $CG$.
Mari kita kembali ke proyeksi.
Garis $CG$ memiliki arah $(0,0,1)$ (jika kita menyederhanakan).
Titik $A$ adalah $(0,0,0)$. Titik $C$ adalah $(6,6,0)$.
Vektor $vecAC = (6,6,0)$.
Jarak titik $A$ ke garis $CG$ dapat dihitung dengan rumus:
$d = fracvecu$, di mana $vecu$ adalah vektor arah garis $CG$.
Kita ambil $vecu = vecCG = (0,0,6)$.
$vecAC = (6,6,0)$.
$vecAC times vecu = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk 6 & 6 & 0 0 & 0 & 6 endvmatrix = mathbfi(6 cdot 6 – 0 cdot 0) – mathbfj(6 cdot 6 – 0 cdot 0) + mathbfk(6 cdot 0 – 6 cdot 0)$
$= 36mathbfi – 36mathbfj + 0mathbfk = (36, -36, 0)$.
$|vecAC times vecu| = sqrt36^2 + (-36)^2 + 0^2 = sqrt1296 + 1296 = sqrt2 cdot 1296 = 36sqrt2$.
$|vecu| = |(0,0,6)| = sqrt0^2 + 0^2 + 6^2 = sqrt36 = 6$.
Jarak $d = frac36sqrt26 = 6sqrt2$ cm.
Penjelasan Alternatif Visual:
Perhatikan bidang $ACGE$. Bidang ini adalah persegi panjang dengan sisi $AC$ dan $AE$. Jarak dari $A$ ke garis $CG$ dalam kubus adalah sama dengan panjang diagonal bidang $ACGE$, yaitu panjang $AC$.
Panjang $AC$ adalah diagonal alas kubus.
$AC = sqrtAB^2 + BC^2 = sqrt6^2 + 6^2 = sqrt36 + 36 = sqrt72 = sqrt36 cdot 2 = 6sqrt2$ cm.
Mengapa ini benar? Garis $CG$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$. Titik $A$ berada di bidang $ABCD$. Jarak terpendek dari $A$ ke garis $CG$ adalah panjang segmen yang ditarik dari $A$ tegak lurus ke $CG$.
Segmen $AC$ berada di bidang $ABCD$. Rusuk $CG$ tegak lurus dengan bidang $ABCD$, sehingga $CG$ tegak lurus dengan setiap garis di bidang $ABCD$ yang melalui $C$, termasuk $AC$. Jadi, $AC$ tegak lurus dengan $CG$.
Oleh karena itu, jarak titik $A$ ke garis $CG$ adalah panjang $AC$.
Contoh Soal 4 (Sudut):
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan besar sudut antara garis $AG$ dan bidang $ABCD$.
Pembahasan:
Untuk menentukan sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang tersebut.
-
Proyeksi Garis $AG$ pada Bidang $ABCD$:
Titik $A$ sudah berada pada bidang $ABCD$.
Proyeksi titik $G$ pada bidang $ABCD$ adalah titik $C$ (karena $GC$ tegak lurus bidang $ABCD$).
Jadi, proyeksi garis $AG$ pada bidang $ABCD$ adalah garis $AC$. -
Menghitung Sudut:
Sudut antara garis $AG$ dan bidang $ABCD$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $AG$ dan garis $AC$. Sudut ini adalah $angle GAC$. -
Menghitung Panjang Sisi Segitiga:
Kita perlu mempertimbangkan segitiga $AGC$. Segitiga ini siku-siku di $C$, karena $GC$ tegak lurus bidang $ABCD$, sehingga $GC$ tegak lurus $AC$.- Panjang rusuk kubus adalah 4 cm.
- Panjang $GC = 4$ cm (rusuk tegak).
- Panjang $AC$ adalah diagonal bidang alas.
$AC = sqrtAB^2 + BC^2 = sqrt4^2 + 4^2 = sqrt16 + 16 = sqrt32 = sqrt16 cdot 2 = 4sqrt2$ cm. - Panjang $AG$ adalah diagonal ruang.
$AG = sqrtAB^2 + BC^2 + CG^2 = sqrt4^2 + 4^2 + 4^2 = sqrt16 + 16 + 16 = sqrt48 = sqrt16 cdot 3 = 4sqrt3$ cm.
-
Menentukan Besar Sudut $angle GAC$:
Dalam segitiga siku-siku $AGC$, kita dapat menggunakan fungsi trigonometri untuk mencari $angle GAC$.
Kita punya sisi depan sudut ($textdepan = GC = 4$), sisi samping sudut ($textsamping = AC = 4sqrt2$), dan sisi miring ($textmiring = AG = 4sqrt3$).Menggunakan perbandingan tangen:
$tan(angle GAC) = fractextdepantextsamping = fracGCAC = frac44sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$.Menggunakan perbandingan sinus:
$sin(angle GAC) = fractextdepantextmiring = fracGCAG = frac44sqrt3 = frac1sqrt3 = fracsqrt33$.Menggunakan perbandingan kosinus:
$cos(angle GAC) = fractextsampingtextmiring = fracACAG = frac4sqrt24sqrt3 = fracsqrt2sqrt3 = fracsqrt63$.Dari salah satu perbandingan tersebut, kita bisa menentukan sudutnya. Misalnya dari $tan(angle GAC) = fracsqrt22$.
Sudut yang nilai tangennya $fracsqrt22$ bukanlah sudut istimewa yang umum dihafal.
Namun, jika kita menggunakan $sin(angle GAC) = fracsqrt33$, ini juga bukan sudut istimewa.Mari kita periksa kembali soalnya. Jika ini adalah soal ujian, biasanya akan menghasilkan sudut istimewa atau nilai yang bisa dihitung dengan kalkulator.
Terkadang, pertanyaan bisa mengarah pada sudut antara dua garis atau dua bidang.Mari kita asumsikan bahwa ada kesalahan dalam perhitungan atau pilihan soal jika tidak menghasilkan sudut istimewa.
Namun, jika diminta nilai $tan(angle GAC)$, maka jawabannya adalah $fracsqrt22$.Jika soalnya mengarah pada sudut istimewa, mungkin ada kesalahan penafsiran atau penulisan soal. Misalnya, jika ditanya sudut antara garis $AG$ dan garis $AC$, maka itu adalah $angle GAC$ yang kita hitung.
Baiklah, mari kita coba pendekatan lain jika memungkinkan. Jika ada titik lain yang lebih mudah dihubungkan.
Kembali ke definisi: sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang.
Garis $AG$. Bidang $ABCD$.
Proyeksi $G$ pada $ABCD$ adalah $C$. Proyeksi $A$ pada $ABCD$ adalah $A$.
Jadi, proyeksi garis $AG$ pada bidang $ABCD$ adalah garis $AC$.
Sudutnya adalah $angle GAC$.Jika kita melihat segitiga $AGC$ yang siku-siku di $C$:
$GC = 4$
$AC = 4sqrt2$
$AG = 4sqrt3$$tan(angle GAC) = frac44sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$.
$angle GAC = arctanleft(fracsqrt22right)$.Nilai $fracsqrt22$ tidak sesuai dengan sudut istimewa seperti $30^circ, 45^circ, 60^circ$.
- $tan(30^circ) = frac1sqrt3 approx 0.577$
- $tan(45^circ) = 1$
- $tan(60^circ) = sqrt3 approx 1.732$
Nilai $fracsqrt22 approx frac1.4142 = 0.707$. Ini berada di antara $tan(30^circ)$ dan $tan(45^circ)$.
Kemungkinan lain adalah jika soal menanyakan sudut antara garis $AG$ dan bidang $EFGH$.
Proyeksi $A$ pada $EFGH$ adalah $E$. Proyeksi $G$ pada $EFGH$ adalah $G$.
Proyeksi garis $AG$ pada bidang $EFGH$ adalah garis $EG$.
Sudutnya adalah $angle AGE$.
Segitiga $AEG$ siku-siku di $E$.
$AE = 4$
$EG = 4sqrt2$ (diagonal bidang)
$AG = 4sqrt3$ (diagonal ruang)
$tan(angle AGE) = fracAEEG = frac44sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$. Hasilnya sama.Mungkin ada tipe soal lain yang lebih umum.
Contoh Soal 4 (Revisi untuk Sudut Istimewa):
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan besar sudut antara garis $AG$ dan bidang $ABFE$.Pembahasan (Revisi):
-
Proyeksi Garis $AG$ pada Bidang $ABFE$:
Titik $A$ sudah berada pada bidang $ABFE$.
Proyeksi titik $G$ pada bidang $ABFE$ adalah titik $F$ (karena $GF$ tegak lurus bidang $ABFE$).
Jadi, proyeksi garis $AG$ pada bidang $ABFE$ adalah garis $AF$. -
Menghitung Sudut:
Sudut antara garis $AG$ dan bidang $ABFE$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $AG$ dan garis $AF$. Sudut ini adalah $angle GAF$. -
Menghitung Panjang Sisi Segitiga:
Kita perlu mempertimbangkan segitiga $AGF$. Segitiga ini siku-siku di $F$, karena $GF$ tegak lurus bidang $ABFE$, sehingga $GF$ tegak lurus $AF$.- Panjang rusuk kubus adalah 4 cm.
- Panjang $GF = 4$ cm (rusuk tegak).
- Panjang $AF$ adalah diagonal bidang $ABFE$.
$AF = sqrtAB^2 + BF^2 = sqrt4^2 + 4^2 = sqrt16 + 16 = sqrt32 = 4sqrt2$ cm. - Panjang $AG$ adalah diagonal ruang.
$AG = sqrtAB^2 + BF^2 + FG^2 = sqrt4^2 + 4^2 + 4^2 = sqrt16 + 16 + 16 = sqrt48 = 4sqrt3$ cm.
-
Menentukan Besar Sudut $angle GAF$:
Dalam segitiga siku-siku $AGF$:
$tan(angle GAF) = fractextdepantextsamping = fracGFAF = frac44sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$.
Ini masih menghasilkan nilai yang sama.
Mari kita coba sudut antara dua bidang.
Contoh Soal 4 (Sudut Antar Bidang):
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan besar sudut antara bidang $ABCD$ dan bidang $BCGF$.Pembahasan:
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut, dan kedua garis tersebut berada pada bidang yang berbeda.-
Garis Potong Kedua Bidang:
Bidang $ABCD$ dan bidang $BCGF$ berpotongan pada garis $BC$. -
Mencari Garis Tegak Lurus Garis Potong pada Masing-masing Bidang:
- Pada bidang $ABCD$, cari garis yang tegak lurus $BC$. Garis $AB$ tegak lurus $BC$.
- Pada bidang $BCGF$, cari garis yang tegak lurus $BC$. Garis $CG$ tegak lurus $BC$.
-
Menentukan Sudut:
Sudut antara bidang $ABCD$ dan bidang $BCGF$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $AB$ dan garis $CG$. Sudut ini adalah $angle ABC$ atau $angle GCB$.
Namun, sudut yang dicari adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong.
Jadi, sudutnya adalah sudut antara garis $AB$ dan garis $CG$.Perhatikan bahwa $AB$ dan $CG$ adalah rusuk kubus.
Jika kita memproyeksikan $CG$ ke bidang $ABCD$, kita mendapatkan $C$.
Jika kita memproyeksikan $AB$ ke bidang $BCGF$, kita mendapatkan $B$.Mari kita perjelas definisi. Sudut antara bidang $P$ dan bidang $Q$ adalah sudut $theta$ antara garis $l_1$ pada $P$ dan garis $l_2$ pada $Q$, di mana $l_1$ dan $l_2$ keduanya tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang di titik yang sama.
Garis potong adalah $BC$.
- Pada bidang $ABCD$, garis yang tegak lurus $BC$ di titik $B$ adalah $AB$.
- Pada bidang $BCGF$, garis yang tegak lurus $BC$ di titik $B$ adalah $BF$.
Jadi, sudut antara bidang $ABCD$ dan $BCGF$ adalah sudut $angle ABF$.
Segitiga $ABF$ adalah segitiga siku-siku di $A$ (karena $AB$ tegak lurus $BF$ dalam bidang $ABFE$).
- $AB = 6$ cm.
- $BF = 6$ cm.
- $AF = sqrtAB^2 + BF^2 = sqrt6^2 + 6^2 = sqrt36+36 = sqrt72 = 6sqrt2$ cm.
Dalam segitiga $ABF$, $tan(angle ABF) = fracAFAB$? Ini salah. Segitiga $ABF$ siku-siku di $A$ jika kita melihat bidang $ABFE$. Sudut yang kita cari adalah $angle ABF$.
Dalam segitiga $ABF$ yang siku-siku di $A$ (karena $AB perp BF$ dalam persegi panjang $ABFE$), kita punya:
$AB = 6$ (sisi)
$BF = 6$ (sisi)
$AF = 6sqrt2$ (miring)Sudut $angle ABF$ dalam segitiga siku-siku $ABF$ (siku-siku di $A$)? Ini tidak tepat.
Sudut $angle ABF$ adalah sudut di segitiga $ABF$.Kita perlu mencari sudut antara $AB$ dan $BF$.
Garis $AB$ ada di bidang $ABCD$. Garis $BF$ ada di bidang $BCGF$.
Keduanya tegak lurus $BC$.
Sudut $angle ABF$ adalah sudut yang dicari.
Perhatikan segitiga $ABF$. Siku-siku di $A$.
$tan(angle ABF) = fracAFAB$ adalah salah jika siku-siku di A.Dalam persegi panjang $ABFE$, $AB$ tegak lurus $BF$. Jadi $angle ABF = 90^circ$.
Ini berarti bidang $ABCD$ dan $BCGF$ saling tegak lurus. Ini benar, karena $AB$ tegak lurus $BC$, dan $AB$ juga tegak lurus $CG$ (karena $AB$ sejajar $CD$ dan $CD$ tegak lurus $CG$).Ini berarti jika dua bidang saling tegak lurus, sudutnya adalah $90^circ$.
Mari kita coba sudut antara bidang $ABCD$ dan bidang $EFGH$.
Bidang $ABCD$ sejajar dengan bidang $EFGH$. Sudut antara dua bidang sejajar adalah $0^circ$.Mari kita coba sudut antara bidang $ABCD$ dan bidang $ACGE$.
Garis potongnya adalah $AC$.- Pada bidang $ABCD$, garis yang tegak lurus $AC$ di titik $C$ adalah $BC$.
- Pada bidang $ACGE$, garis yang tegak lurus $AC$ di titik $C$ adalah $CG$.
Jadi, sudutnya adalah $angle BCG$.
$angle BCG = 90^circ$. Ini berarti bidang $ABCD$ dan bidang $ACGE$ saling tegak lurus. Ini benar, karena $BC$ tegak lurus $AC$, dan $BC$ tegak lurus $CG$.
Kembali ke contoh soal 4 yang revisi:
Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk 4 cm. Sudut antara garis $AG$ dan bidang $ABFE$.
Proyeksi $AG$ pada $ABFE$ adalah $AF$. Sudutnya $angle GAF$.
Segitiga $AGF$ siku-siku di $F$.
$GF = 4$
$AF = 4sqrt2$
$AG = 4sqrt3$
$tan(angle GAF) = fracGFAF = frac44sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$.
Ini adalah jawaban yang benar jika soalnya demikian. $angle GAF = arctanleft(fracsqrt22right)$.
3. Statistika (Ukuran Pemusatan, Letak, dan Penyebaran Data)
Konsep Dasar:
-
Ukuran Pemusatan:
- Mean (Rata-rata): $barx = fracsum f_i x_isum f_i$ (data berkelompok) atau $barx = fracsum x_in$ (data tunggal).
- Median: Nilai tengah data yang telah diurutkan.
- Data tunggal: Jika $n$ ganjil, median di posisi $fracn+12$. Jika $n$ genap, median rata-rata posisi $fracn2$ dan $fracn2+1$.
- Data berkelompok: $Me = TB + fracfrac12n – FfP$, di mana $TB$ adalah tepi bawah kelas median, $n$ adalah jumlah data, $F$ adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median, $f$ adalah frekuensi kelas median, dan $P$ adalah panjang kelas.
- Modus: Nilai yang paling sering muncul.
- Data tunggal: Nilai dengan frekuensi tertinggi.
- Data berkelompok: $Mo = TB + fracd_1d_1+d_2P$, di mana $d_1$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, $d_2$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, dan $P$ adalah panjang kelas.
-
Ukuran Letak: Kuartil ($Q_k$), Desil ($D_k$), Persentil ($P_k$). Rumusnya mirip dengan median, hanya mengganti $frac12n$ dengan $frack4n$ (Kuartil), $frack10n$ (Desil), atau $frack100n$ (Persentil).
-
Ukuran Penyebaran:
- Rentang (Range): $R = xmaks – xmin$.
- **Simpangan Baku ($sigma$ atau $s$
